[AI] 확률

확률

• 확률1

  반드시 그 사건이 일어남

• 확률 0

  그 사건이 절대로 일어나지 않음

• 확률은 0 ~ 1 사이의 값을 가짐.

조합(combination)

어떤 집합에서 순서에 상관없이 뽑은 원소의 집합.

확률의 계산

예제 1

검은공: 1 ~ 3(3개)

흰공: 4 ~ 7(4개)일 때

2개의 공을 무작위로 뽑을 때, 둘 다 흰공이 나올 확률

• 표본공간: {(1,2),(1,3),...,(6,7)}

$$
\begin{pmatrix}7\2\ \end{pmatrix} = 21
$$

• 흰공이 2개인 사건: {(4,5),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),(6,7)}

$$
\begin{pmatrix}4\2\ \end{pmatrix} = 6
$$

• 확률
  $$
  6/21 = 2/7
  $$

예제 2

검은공: 1 ~ 3(3개)

흰공: 4 ~ 7(4개)일 때

3개의 공을 무작위로 뽑을 때, 흰공 1개, 검은공 2개가 나올 확률

• 표본공간:

  $$
  \begin{pmatrix}7\3\ \end{pmatrix} = 21
  $$

  • 흰공이 1개, 검은공 2개인 사건:

$$
\begin{pmatrix}4\1\ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix}3\2\ \end{pmatrix} = 12
$$

• 확률
  $$
  12/35
  $$

법칙

덧셈 법칙(additional law)

예제 1

• 표본공간(주사위:S)
  $$
  {1,2,3,4,5,6}
  $$

• 주사위의 숫자가 짝수인 사건 A

  $$
  P(A) = 1/2
  $$

• 주사위의 숫자가 4 이상인 사건
  $$
  P(B) = 1/2
  $$

• 사건 A나 사건 B가 일어날 확률
  $$
  A \cup B = {2,4,5,6}
  $$

  $$
  P(A \cup B) = |A \cup B| / |S| = 4/6 = 2/3
  $$

• 사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 확률
  $$
  A \cap B = {4,6}
  $$

  $$
  P(A \cap B) = |A \cap B| / |S| = 2/6 = 1/3
  $$

• 덧셈법칙
  $$
  P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
  $$

  $$
  P(A \cup B) = 1/2 + 1/2 - 1/3
  $$

예제 2

1000명의 사람이 있는데, 남자의 비율이 40%, 20세 미만의 비율이 43%, 20세 미만이면서 남자인 사람의 비율이 15%일 때, 한 명의 사람을 랜덤하게 뽑을 때 남자이거나 20세 미만의 확률은?

사건 정의

• A: 남자일 사건
  $$
  P(A) = 0.4
  $$

• B: 20세 미만일 사건
  $$
  P(B) = 0.43
  $$

• 20세 미만이면서 남자인 사건
  $$
  P(A \cap B) = 0.15
  $$

• $$
  P(A \cup B) = P(A) + p(B) - P(A \cap B)
  $$

  $$
  P(A \cup B) = 0.4 + 0.43 - 0.15 = 0.68
  $$

서로 배반(mutual ly exclusive)

두 사건의 교집합이 공집할 일 경우
$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/6 = 2/3
$$

조건부 확률(conditional probability)

어떤 사건 A가 일어났을 때, 다른 사건 B가 일어날 확률
$$
P(B|A) = P(A \cap B)/ P(A)
$$

예제 1

주사위가 4이상의 수가 나왔을 때 짝수일 확률

사건정의

• 사건 A(4이상의 수가 나오는 사건):
  $$
  P(A) = 3/6 = 1/2
  $$

• 사건 B(짝수가 나오는 사건):
  $$
  P(B) = 3/6 = 1/2
  $$

• 4 이상이면서 짝수인 사건:
  $$
  P(A \cap B) = 2/6 = 1/3
  $$

• 결과:
  $$
  P(B|A) = P(A \cap B)/ P(A) = (1/3)/(1/2) = 2/3
  $$

곰셈법칙

$$
P(B|A) = P(A \cap B) / P(A)
$$

$$
P(A \cap B) = P(B|A) * P(A)
$$

예제 1

어떤 학교에서 60%의 학생이 남학생이고 이 학교 남학생 중 80%는 축구를 좋아한다. 학생 1명을 뽑았을 때 축구를 좋아하는 남학생일 확률은?

• 사건 A(남학생일 경우):
  $$
  P(A) = 0.6
  $$

• 사건 B(축구를 좋아할 경우):
  $$
  P(B) = ?
  $$

• 남학생들 중 축구를 좋아하는 경우:
  $$
  P(B|A) = 0.8
  $$

• 전체 학생들 중 축구를 좋아하는 남학생을 뽑을 확률
  $$
  P(A \cap B) = P(B|A) * P(A) = 0.8 * 0.6 = 0.48
  $$

서로 독립

$$
P(B|A) = P(B)
$$

$$
P(A \cap B) = P(B|A) * P(A) = P(B) * P(A) = P(A) * P(B)
$$

예제 1

주사위를 2번 던졌을 때 첫번째 주사위의 숫자가 짝수(사건 A)이고 두번째 주사위의 숫자가 짝수(사건 B)인 확률

$$
P(A \cap B) = P(A) * P(B) = 1/4
$$