[AI]선형변환(linear_transformation)

국민대 인공지능 수업 중 5주차 과정에서 배우는 선형 함수에 대해 알아보겠습니다.

선형변환이란 행렬을 선형변환의 구현체로 하나의 함수로 보는 관점(?) 이라고 합니다만 제가 제대로 받아들인지 모르겠군요. 정리 겸 해서 배운 내용들을 작성해 보도록 하겠습니다.

선형변환은 행렬을 함수로 보기 때문에 우선 이 함수가 무엇인지 알아야 합니다. 중등, 고등 교과 과정에서의 함수에 대해 알아보겠습니다.

함수(function)

중등 교과과정

정의역(domain): 입력이 정의되는 집합 D

공역(codomain): 출력이 정의되는 집합 C

치역(range): 실제 함수의 출력이 나오는 부분집합 R

• 함수는 두 집합 간의 매핑룰(mapping rule)입니다.

• 함수의 정의

고등 교과과정

$$
f(x) = x^2 + 2x + 3
$$

위의 식을 아래와 같이 프로그래밍 언어로 표현할 수 있습니다.

float f (float x)
{
    return x * x
        + 2 * x
        + 3
}

선형 함수(linear function)

함수 f가 아래의 두가지 조건을 만족하면 함수 f를 선형함수라고 합니다.
$$
f(x + y) = f(x) + f(y)\
f(cx) = cf(s)
$$
(단, c는 임의의 스칼라일 경우)

변환(transformation)

함수(fucntion) 중 입출력이 모두 vector인 경우 변환(transformation)이라 부릅니다.

또한 변환(transformation)의 입출력이 동일할 경우(n = m) 연산자(operator)라고 부릅니다.

MNIST 손글씨 인식

$$
T: R^{28*28} -> R^{10}
$$

28 x 28 해상도의 손글시 숫자 영상을 0 ~ 9 까지의 어떤 숫자가 적혀져 있는지 알아내는 문제 역시 (비선형)변환(transformation) 입니다.

matrix transformation(행렬변환)

m x n 행렬 A에 대해 Ax는 n-벡터를 입력 받아 m-벡터를 출력으로 내는 아래의 변환은
$$
T_A(x) = Ax
$$
행렬이 정의하기 때문에 행렬변환(matrix transformation)이라고 합니다.
$$
T_{A}: R^n -> R^m
$$

또한 행렬변환은 선형함수 성질을 모두 만족하기 때문에 선형변환(linear transforamtion) 이기도 합니다.
$$
T_A(x + y) = T_A(x) + T_A(y),\
T_A(cx) = cT_A(x)
$$

즉, 행렬변환이 있거나 행렬을 곱한다는 것은 모두 선형변환입니다.

머리 아픈 글 읽어 주셔서 감사합니다. 아직 제대로 이해하고 있지는 않지만... 그래도 하다보면 좀 더 와닿지 않을까 합니다.

오늘도 즐거운 하루 되시길 바랍니다.

References

https://ecampus.kookmin.ac.kr/course/view.php?id=57695